피타고라스의 정리

[박종하의 창의력 에세이] 피타고라스의 정리

 

[퍼즐 1] 서로 다른 크기의 두 정사각형을 잘라 붙여서 두개를 합한 것과 같은 크기의 정사각형을 만들어보라.

두개의 정사각형을 적당하게 잘라 붙여서 새로운 큰 정사각형을 만드는 문제다. 골치 아프다고 또는 내가 할 일이 아니라도 넘기지 말고 한번 도전해보자. 마음의 여유를 갖고 약간의 휴식을 취하면서 생각해보면 좋을 거 같다.

생각의 힘은 훈련을 통해서만 늘어난다. 나는 이런 퍼즐을 많이 접한 아이들이 학교에서 공부도 잘하는 것을 많이 보았다. 이런 문제를 싫어하는 아이들은 학교에서 외우는 공부는 잘해도, 분석적이고 창의적인 문제해결 능력을 요구하는 공부에서는 성적이 그렇게 좋지 않다. 그건 아이들만의 문제는 아니다. 성인들에게도 생각하는 능력은 매우 중요한 개인의 역량이고 그런 역량을 키워야 만이 자신이 원하는 것들을 얻을 수 있다. 다시 말하지만, 생각하는 능력을 키우는 유일한 방법은 많은 생각과 다양한 생각을 하는 거다. 그래서 나는 퍼즐을 좋아한다.

이 문제의 해결에 아이디어가 될 수 있는 몇 가지 구체적인 상황을 소개한다. 퍼즐에서는 크기가 정해져 있지 않은 일반적인 두개의 정사각형을 잘라 붙이는 것이지만, 이렇게 아주 일반적인 상황의 문제를 해결하는 방법은 구체적인 사례를 먼저 생각해보면서 아이디어를 넓히는 것이 효과적이다. 구체적인 경우로 한 변의 길이가 각각 3, 4인 정사각형을 잘라 붙여서 한 변의 길이가 5인 정사각형을 만들어보자.

먼저 다음과 같이 생각할 수 있다. 한 변의 길이가 4인 정사각형을 자른 다음, 오른쪽과 같이 붙이면 한 변의 길이가 5인 정사각형이 된다.



아주 절묘한 절단으로 이 문제를 해결한 사례를 소개한다. 다음은 유명한 샘 로이드가 한 변의 길이가 5인 정사각형을 한 변의 길이가 3과 4가 되도록 자른 것이다. 이 절단을 오른쪽에서 왼쪽으로 진행시키면 두 개의 정사각형을 합한 하나의 정사각형을 만들 수 있다.



이런 구체적인 사례들 중에 아마 앞의 퍼즐에 가장 결정적인 힌트가 될 만한 것은 다음 퍼즐일 거다. 다음을 한번 생각해보자.

[퍼즐 2] 다음을 2개의 직선을 긋고 자른 뒤 그 조각들로 정사각형을 만들어보라.



이 문제를 해결하기 위해서 넓이가 2배가 되는 정사각형을 그리는 방법을 생각해보자. 어떤 정사각형이 있을 때 넓이가 2배인 정사각형을 그리는 방법은 다음과 같이 대각선을 긋고 그 대각선을 한 변으로 하는 정사각형을 찾는 것이다. 이렇게 하면 넓이가 2배인 정사각형을 만들 수 있다.



이렇게 넓이가 2배가 되는 정사각형을 만드는 방법에는 매우 중요한 의미를 집고 넘어가야 하는데, 그 의미는 대각선의 길이가 바로 root(2)라는 거다. 넓이가 2배가 되는 정사각형을 만들기 위해서는 한 변의 길이를 root(2)배 해야 한다. 그 방법으로 대각선을 한 변으로 이용한 것이다. 그림을 절단하는 문제를 해결하기 위해서 숫자를 파악해야 한다는 것이 우리가 가져야 할 중요한 의미다.

[퍼즐 2 해설]
그럼, 이제 [퍼즐 2]을 보자. 이 퍼즐은 그림을 절단하는 문제지만, 그 그림에 숫자를 넣어서 생각해보자. 문제에는 5개의 정사각형이 있다. 이 작은 정사각형 하나의 크기를 1이라고 하면 우리가 새로 만들어야 하는 정사각형의 크기는 5다. 즉, 한 변의 길이가 root(5)인 정사각형인 거다. 다시 말해서, 넓이가 2배인 정사각형을 만들기 위해 root(2)를 찾았던 것처럼 넓이가 5인 정사각형을 그리기 위해서는 root(5)를 찾아야 하는 거다.


앞의 그림 속에서 root(5)를 찾아보면 정사각형 2개로 만들어진 사각형의 대각선의 길이에서 얻을 수 있다. 따라서, 몇 번 선을 그어보면 다음과 같이 절단하여 붙이면, 한 변의 길이가 root(5)인 정사각형을 만들 수 있다.




[퍼즐 2]을 해결하는 방법을 이해했다면 그 방법에 약간의 생각을 덧붙여서 [퍼즐 1]의 해결방법을 찾아보라. 퍼즐은 문제를 풀었을 때 재미가 더해진다.